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移動現象論

非定常系

輸送の一般式

begin{alignedat}{10} J &=& &-k& &nabla F \\ 流束 &prop& & & & 駆動力 end{alignedat}

※　駆動力があまり大きくないときに成り立つ現象論的な線形近似

  • 運動量交換（ニュートンの粘性法則）
𝜏xy=−𝜇𝜕𝑣𝑥𝜕𝑦
  • 熱伝導（フーリエの法則）
𝑞=−𝜆∇𝑇
  • 拡散（フィックの第１法則）
𝑗=−𝐷∇𝐶
  • 電流
𝑗=−𝜎∇𝑉

拡散

フィクスの第１法則

混合流体中のある成分の濃度場を 𝐶(𝑥) とする．全ての分子はランダムに等方的に拡散する．ある微小面の両側に濃度勾配がある場合，等方的な拡散の結果として，濃度を均一にする方向に分子が動いたようにみえる．

濃度場 𝐶 と拡散流束 𝑞 とに

𝑞=−𝐷∇𝐶

𝐷 : 拡散係数

の関係（フィクスの第１法則）が見られる．

拡散方程式（フィクスの第２法則）

𝜕𝐶𝜕𝑡=𝜅𝐶∇2𝐶

𝜅𝐶≔𝑘𝐶𝜌 : 質量拡散係数

静止した混合流体中に閉曲面 𝐴 と 𝐴 に囲まれた閉領域 𝑉 をとる．

質量保存則より，𝑉 内質量の増加量は 𝐴 の表面からの流入量と等しいので，（𝑛𝐴 は外向きを正とする．最後の変形にガウスの発散定理を用いる．）

(partial)/(partial t) integral_V rho C dV = - integral_A q dot.op n_A dA = integral_A (k_C nabla C) dot.op n_A dA = integral_V nabla (k_C nabla C) dV

𝑉 は任意なので，

𝜌𝜕𝐶𝜕𝑡=𝑘𝐶∇2𝐶

拡散係数の導出

ブラウン運動から

フィクスの第１法則はブラウン運動のモデル（ランダムに分子が運動するモデル）で説明できて，

𝐷=𝜇𝑘𝐵𝑇

𝜇 : 移動度

低レイノルズ数の液体を媒体とした球形粒子の拡散の場合，

D = (k_BT)/(6pi eta r)

𝜂 : 動粘性係数

ボルツマン輸送方程式から

Chapman & Cowling (1939) を読むと良いらしい

位相空間上の分布関数 𝑓(𝑥,𝑣,𝑡)

状態が平衡状態 𝑓0 に近いとき，緩和時間近似により，

𝜕𝑓𝜕𝑡+𝑣⋅∇𝑓=−𝑓−𝑓0𝜏

𝐹=𝑓−𝑓0 として，

𝜕𝐹𝜕𝑡+𝐹𝜏+𝑣⋅∇𝐹=0

濃度場は

𝐶(𝑥,𝑡)=∭𝑓(𝑥,𝑣,𝑡)𝑑𝑣

拡散流束は

𝑞(𝑥,𝑡)=∭𝑣𝑓(𝑥,𝑣,𝑡)𝑑𝑣

濃度場の勾配を求める

𝑥 成分をみると

(partial)/(partial x) C = (partial)/(partial x) integral.triple f(x,v,t) dv_x dv_y dv_z

温度勾配による拡散

q = -k_Clr([nabla C + (k_T)/(T) nabla T])

熱伝導

フーリエの法則

温度場 𝑇 と熱流束 𝑞 とに

𝑞=−𝑘∇𝑇

熱伝導係数 𝑘

の関係（フーリエの法則）が見られる．

熱伝導方程式

𝜕𝑇𝜕𝑡=𝜅𝑇∇2𝑇

温度拡散係数 𝜅𝑇≔𝑘𝜌𝐶𝑝

静止流体中に閉曲面 𝐴 と 𝐴 に囲まれた閉領域 𝑉 をとる．

𝑉 内の熱エネルギーの時間変化は

(partial Q)/(partial t) = integral rho C_P (partial T)/(partial t) dV

エネルギー保存則より，𝑉 内エネルギーの増加量は 𝐴 の表面からの流入量＋内部発熱 qV に等しい．内部発熱がない場合，

integral rho C_P (partial T)/(partial t) dV = - integral_A q dot.op n_A dA = integral_A (k nabla T) dA = integral_V nabla (k nabla T) dV

𝑉 は任意なので，

𝜌𝐶𝑃𝜕𝑇𝜕𝑡=𝑘∇2𝑇

粘性