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流体力学

流体

基礎方程式

登場人物

  • 速度 𝑢𝑖
    • 変形速度 𝑑ij≔𝜕𝜕𝑥𝑗𝑢𝑖 → 歪み速度 S_("ij"):=d_((ij)) + 回転速度 Omega_("ij"):=d_([ij])
    • 渦度 𝜔𝑘≔𝜀ijk𝑑ij
  • 応力 𝜎ij
  • 密度 𝜌
  • 圧力 𝑝
  • 外力 𝑔𝑖

質量保存則（連続の式）

𝜕𝜕𝑡𝜌+𝜕𝜕𝑥𝑖(𝜌𝑢𝑖)=0

運動量保存則（運動方程式）

𝜕𝜕𝑡(𝜌𝑢𝑖)+𝜕𝜕𝑥𝑗(𝜌𝑢𝑖𝑢𝑗)=𝜕𝜕𝑥𝑖𝜎ii+𝜌𝑔𝑖

構成則

構成方程式の一般式

𝜎ij=ℱ︀(𝑑kl)
  1. 静水圧
sigma_("ij") = -pdelta_("ij")
  1. 変形速度テンソル（対称・等方的）
𝜎ij=𝐶ijkl𝑑kl
C_("ijkl") = lambdadelta_("ij")delta_("kl") + mudelta_("ik")delta_("jl") + nulambda_("il")lambda_("jk")

ニュートン流体の構成方程式

𝜎ij=(−𝑝+23𝜇𝑆kk)𝛿ij+2𝜇𝑆ij

ナビエストークス方程式

(partial )/(partial t)(rho u_i)+(partial )/(partial x_j)(rho u_iu_j)=-(partial )/(partial x_i)lr((p+(2)/(3)mupartial_ku_k))+mu(partial )/(partial x_j)lr(((partial )/(partial x_j)u_i+(partial )/(partial x_i)u_j))+rho g_i

非圧縮

𝜌(𝜕𝜕𝑡𝑢𝑖+𝑢𝑗𝜕𝜕𝑥𝑗𝑢𝑖)=−𝜕𝜕𝑥𝑖𝑝+𝜇𝜕𝜕𝑥𝑗𝜕𝜕𝑥𝑗𝑢𝑖+𝜌𝑔𝑖

無次元化 𝐷,𝑉,𝐿

rho (partial )/(partial t) u_i + rho u_j (partial )/(partial x_j) u_i = -(partial )/(partial x_i) p + (mu)/(DVL) (partial )/(partial x_j) (partial )/(partial x_j) u_i + rho g_i

レイノルズ数ℜ≔𝜌𝑉𝐿𝜇と外力場𝑔𝑖が同じなら、等価な微分方程式となり、相似な流れになる．

π 定理

法則が𝑛個の変数(𝑞1,𝑞2,,,𝑞𝑛)で表現されていて，変数が𝑘個の独立な基本単位で表されるとき，

𝑒1…𝑒𝑘
𝑞1
:𝑀
𝑞𝑛

𝑘=rank𝑀

無次元数の数 =null𝑀

二次元

𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦=0𝜌(𝜕𝑢𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑢𝜕𝑦)=−𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜇(𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2)+𝜌𝑔𝑥𝜌(𝜕𝑣𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑣𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑣𝜕𝑦)=−𝜕𝑝𝜕𝑦+𝜇(𝜕2𝑣𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝜕𝑦2)+𝜌𝑔𝑦

円筒座標 (𝑟,𝜃,𝑧)

(1)/(r) (partial)/(partial r)(ru_r) + (1)/(r) (partial )/(partial theta) u_theta + (partial )/(partial z) u_z = 0 \ rho lr(( (partial u_r)/(partial t) + u_r (partial u_r)/(partial r) + (u_theta)/(r) (partial u_r)/(partial theta) - (u_theta^2)/(r) + u_z (partial u_r)/(partial z) )) = -(partial p)/(partial r) + mu lr([ (partial )/(partial r) lr(((1)/(r)(partial)/(partial r)(ru_r))) + (1)/(r^2)(partial^2 u_r)/(partial theta^2) - (2)/(r^2) (partial u_theta)/(partial theta) + (partial^2 u_r)/(partial z^2) ]) + rho g_r \ rholr(( (partial u_theta)/(partial t) + u_r (partial u_theta)/(partial r) + (u_theta)/(r) (partial u_theta)/(partial theta) + (u_ru_theta)/(r) + u_z (partial u_theta)/(partial z) )) = -(1)/(r)(partial p)/(partial theta) + mu lr([ (partial )/(partial r) lr(( (1)/(r) (partial)/(partial r)(ru_theta))) + (1)/(r^2) (partial^2 u_theta)/(partial theta^2) + (2)/(r^2) (partial u_r)/(partial theta) + (partial^2 u_theta)/(partial z^2) ]) + rho g_theta \ rholr(( (partial u_z)/(partial t) + u_r (partial u_z)/(partial r) + (u_theta)/(r) (partial u_z)/(partial theta) + u_z(partial u_z)/(partial z) )) = -(partial p)/(partial z) + mu lr([ (1)/(r) (partial )/(partial r) lr((r(partial)/(partial r)u_z)) + (1)/(r^2) (partial^2 u_z)/(partial theta^2) + (partial^2 u_z)/(partial z^2) ]) + rho g_z

圧力ポアソン方程式

非圧縮で外力のないナビエストークス方程式

rholr(((partial u_i)/(partial t) + u_j(partial u_i)/(partial x_j))) = -(partial p)/(partial x_i) + mu (partial^2 u_i)/(partial x_j^2)

の両辺に 𝜕𝜕𝑥𝑖 をかけて，連続の式 𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑖=0 を用いると

𝜌𝜕𝑢𝑗𝜕𝑥𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗=−𝜕2𝑝𝜕𝑥2𝑖

円管内層流（ポアズイユ流れ）

r
r
z
z
R
R
v(r)
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半径 𝑅 の円管

軸対称 𝜕𝜃=0,𝑢𝜃=0, 発達流 𝜕𝑧=0, 定常 𝜕𝜕𝑡=0, 円管表面で 𝑢=0

NS 方程式に条件を適用して，

d𝑝d𝑧=𝜇(1)𝑟dd𝑟(𝑟d𝑢𝑧d𝑟)

これを解く

dd𝑟(𝑟d𝑢𝑧d𝑟)=1𝜇d𝑝d𝑧𝑟𝑟d𝑢𝑧d𝑟=12𝜇d𝑝d𝑧𝑟2+𝐶1d𝑢𝑧d𝑟=12𝜇d𝑝d𝑧𝑟+𝐶1𝑟−1𝑢𝑧=14𝜇d𝑝d𝑧𝑟2+𝐶1ln𝑟+𝐶2

𝑢𝑥(𝑟) は有限なので 𝐶1=0 ，また円管表面で 𝑢𝑧(𝑅)=0 より

𝑢𝑧(𝑟)=14𝜇(−d𝑝d𝑧)(𝑅2−𝑟2)

中心流速は

𝑢0=𝑢(0)=14𝜇(−d𝑝d𝑧)𝑅2

流量は

𝑄=∫𝑅02𝜋𝑟𝑢(𝑟)𝑑𝑟=𝜋8𝜇(−d𝑝d𝑧)𝑅4

平均流速は

𝑈=𝑄𝜋𝑅2=𝑢02

表面の摩擦応力は

𝜏=12(−d𝑝d𝑧)𝑅

円管の圧力損失は

Δ𝑝=(−d𝑝d𝑧)𝐿=8𝜇𝐿𝑅2𝑈

血管の分岐（Murray の法則）

評価関数を

𝐽=𝑄Δ𝑃+𝐾𝜋𝑑24𝐿

熱伝達

平行平板

y
y
x
x
H
H
u(y)
u(y)
U
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間隔 𝐻, すべり速度 𝑈

発達流，定常

0=−d𝑝d𝑥+𝜇d2𝑢d𝑦2

一般解は

𝑢(𝑦)=−12𝜇(−d𝑝d𝑥)𝑦2+𝐶1𝑦+𝐶2

底板は固定 𝑢(0)=0， 上板は速度 𝑈 ですべっているので 𝑢(𝐻)=𝑈

𝑢(𝑦)=−12𝜇(−d𝑝d𝑥)𝑦(𝑦−𝐻)+𝑈𝐻𝑦

穴あき平板

y
y
x
x
H
H
u(y)
u(y)
U
U
V0
V0
V0
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底板平板から一定の湧き出し 𝑉0 ，上板から同じ吸い込みがあるとき，

𝜌𝑉0d𝑢d𝑦=−d𝑝d𝑥+𝜇d2𝑢d𝑦2

𝛼≔−𝜌𝑉0𝜇,𝛽≔−1𝜇d𝑝d𝑥 とすると，

d2𝑢d𝑦2+𝛼d𝑢d𝑦+𝛽=0

一般解は

𝑢(𝑦)=𝐶1exp(−𝛼𝑦)+𝐶2−𝛽𝛼𝑦

境界条件 𝑢(0)=0 𝑢(𝐻)=𝑈 より

𝑢(𝑦)=(𝑈+𝛽𝛼𝐻)exp(−𝛼𝑦)−1exp(−𝛼𝐻)−1−𝛽𝛼𝑦
u(y) = lr(( U + (1)/(rho V_0) (dif p)/(dif x) H )) (explr(((rho V_0)/(mu) y))-1)/(explr(((rho V_0)/(mu) H))-1) - (1)/(rho V_0) (dif p)/(dif x) y

同軸二重円筒

境界層

y
y
x
x
U
U
u(y)
u(y)
U
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非定常

滑らかな入り口では一様な速度分布になる．

粘性の影響で徐々に壁面から運動量が伝わる．（← 発達）

𝜕𝜕𝑡𝑢+𝑢𝜕𝑥𝑢+𝑣𝜕𝑦𝑢=−1𝜌𝜕𝑥𝑝+𝜇(𝜕2𝑥𝑢+𝜕2𝑦𝑢)\𝜕𝑥𝑢+𝜕𝑦𝑣=0

条件

𝑢(𝑥,𝑦,0)=0𝑢(𝑥,0,𝑡)=𝑈0(𝑡>0)𝑢(𝑥,∞,𝑡)=0𝜕𝑥𝑢=0𝜕𝑥𝑝=0

解

(partial)/(partial t)u=mupartial_y^2u

境界層

𝛿(𝑡)=√𝜇𝑡

流体の運動学

完全流体の支配方程式

非粘性の流体（ℜ→∞）

  • 連続の式

    𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕𝜕𝑥𝑖(𝜌𝑢𝑖)=0

  • オイラー方程式（完全流体の運動方程式）

    𝜕𝑢𝑖𝜕𝑡+𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗=−1𝜌𝜕𝑝𝑖𝜕𝑥𝑖+𝑔

  • 断熱方程式

    𝜕𝑠𝜕𝑡+𝑢𝑗𝜕𝑠𝜕𝑥𝑗=0

渦度方程式

d𝜔d𝑡=𝜕𝜔𝑖𝜕𝑡+𝑢𝑗(𝜕𝜔𝑖)𝜕𝑥𝑗=𝜔𝑗𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗+𝜈𝜕2𝜔𝑖𝜕𝑥2𝑗

ラグランジュの渦定理

ポテンシャル流

nablatimes(nablaPhi)=0

渦無し流れにはポテンシャル Φ が定義できて u=nablaPhi となる．

連続の式より，

nabladot.op u = nabladot.op(nablaPhi) = nabla^2 Phi = 0

速度ポテンシャルはラプラス方程式の解

圧力方程式（ベルヌイの定理）

𝑝𝜌+12𝑢2+𝜕Φ𝜕𝑡=𝐹(𝑡)

二次元ポテンシャル流

流れ関数

𝑢=𝜕Ψ𝜕𝑦𝑣=−𝜕Ψ𝜕𝑥

流れ関数もラプラス方程式の解

複素ポテンシャル

f=Phi+iPsi

複素速度

w = (dif f)/(dif z) = u - iv
𝑢=ℜd𝑓d𝑧𝑣=−ℑd𝑓d𝑧

ポテンシャルの例

直角

Psi (x,y) = axy
u = (partial Psi)/(partial y) = ax quad v = -(partial Psi)/(partial x) = -ay
𝑞=√𝑢2+𝑣2=𝑎√𝑥2+𝑦2
𝑤=𝜕𝑣𝜕𝑥−𝜕𝑢𝜕𝑦=0
Φ=𝑎2(𝑥2−𝑦2)+𝐶

強制渦

Ψ(𝑥,𝑦)=−𝑎(𝑥2+𝑦2)
u = (partial Psi)/(partial y) = -2ay quad v = -(partial Psi)/(partial x) = 2ax
𝑞=√𝑢2+𝑣2=2𝑎√𝑥2+𝑦2
𝑤=𝜕𝑣𝜕𝑥−𝜕𝑢𝜕𝑦=4𝑎
Φ=𝑎ln√𝑥2+𝑦2

一様流

f = U e^(-ialpha) z
(dif f)/(dif z) = U e^(-ialpha)

湧き出し・吸い込み

f = m ln z = m ln (re^("itheta")) = m ln r + imtheta quad Phi = m ln r quad Psi = m theta
𝑢𝑟=𝑚𝑟𝑢𝜃=0

渦糸

𝑓=−𝑖𝜅ln𝑧

角

𝑓=𝐶𝑧𝑛

𝜋𝑛 のコーナーを回る流れ

二重湧き出し

𝑓=𝑚ln(𝑧−𝑎)−𝑚ln(𝑧+𝑎)=𝑚ln(𝑧−𝑎)𝑧+𝑎

二点 𝑎,−𝑎 を近づける（𝑎→0）（2ma -> mu）

f = - (mu)/(z) quad Phi = -(mu)/(r)costheta quad Psi = (mu)/(r)sintheta

円筒まわり

f = U lr(( z + (R^2)/(z) )) quad Phi = U lr(( r + (R^2)/(r) )) costheta quad Psi = U lr(( r - (R^2)/(r) )) sintheta
u_r = (partial Phi)/(partial r) = U lr(( 1 - (R^2)/(r^2) )) costheta quad u_theta = (1)/(r)(partial Phi)/(partial theta) = -U lr(( 1 + (R^2)/(r^2) )) sintheta

円筒表面 𝑟=𝑅 では

Phi = 2Ucostheta quad Psi = 0 quad u_r = 0 quad u_theta = -2Usintheta

半径方向の流速がない

遠方 𝑟=∞ では

u_r = Ucostheta quad u_theta = -Usintheta
u_x = -u_theta sintheta + u_r costheta = = U

一般の複素ポテンシャル

三次元ポテンシャル流

四元数に拡張する

begin{alignedat}{5} u_1 & = & Im_i (partial f_0)/(partial x) \\ u_2 & = & Im_j (partial f_0)/(partial y) \\ u_3 & = & Im_k (partial f_0)/(partial z) end{alignedat}

となるような関数 f_0(w+xi+yj+zk) が四元数上で正則となるように虚部 𝑓1,𝑓2,𝑓3 を定める

begin{alignedat}{5} u_1 & = & (partial f_0)/(partial x) & = & -(partial f_1)/(partial w) & = & (partial f_2)/(partial z) & = & -(partial f_3)/(partial y) \\ u_2 & = & (partial f_0)/(partial y) & = & -(partial f_1)/(partial z) & = & -(partial f_2)/(partial w) & = & (partial f_3)/(partial x) \\ u_3 & = & (partial f_0)/(partial z) & = & (partial f_1)/(partial y) & = & -(partial f_2)/(partial x) & = & -(partial f_3)/(partial w) end{alignedat}

とすると四元流速 𝑢=𝑢1𝑖+𝑢2𝑗+𝑢3𝑘 は

𝑢=𝜕𝜕𝑤𝑓0
(∇𝑓𝑖)⋅(∇𝑓𝑗)=𝛿ij

一様流

f = Az
𝑢=d𝑓d𝑧=𝐴

?

f = Az^(-1)
u = (dif f)/(dif z) = -Az^(-2)

湧き出し・吸い込み

𝑓=𝐴ln𝑧
𝑢=d𝑓d𝑧=𝐴𝑧−1

球まわり

𝑓=𝑈(𝑧+𝑅2𝑧−1)
𝑢=𝜕𝑓𝜕𝑧=𝑈(1−𝑅2𝑧−2)
uz = U ( z - R^2 z^(-1) )

円球面 |𝑧|=𝑅 上では z = R (xi + yj + zk) として，

uz = U ( z - z^* ) = 0

つまり流速が半径と垂直になる

渦の運動

  • 速度場 𝑢
  • 速度勾配テンソル 𝑑ij≔𝜕𝜕𝑥𝑗𝑢𝑖
  • 変形速度テンソル s_("ij") := d_((ij))
    • 軸変形
      • 対称テンソルなので主軸が存在する
      • 体積変化は (1+𝜆1)(1+𝜆2)(1+𝜆3)∼1+𝜆1+𝜆2+𝜆3=1+Λ
      • 非圧縮の場合，トレース Λ=0
    • ずり変形
      • 非対格成分はひし形状の変形を表す
      • 体積は保存
  • 渦度 𝜔𝑘≔𝜀ijk𝑑ij
    • 速度勾配テンソルの反対称成分 Omega_("ij"):=d_([ij])=epsilon_("ijk")omega_k
    • 回転を表すソレノイダル場（ partial_komega_k=0）
  • 渦線
    • 渦度ベクトルを繋いだ線
    • 渦線の接ベクトルが渦度ベクトルと一致する
    • (dx_i)/(omega_i)=upright("const")
  • 渦菅
    • ある閉曲線を通過する渦線のなす閉曲面
    • 渦菅表面から渦度の出入りはない（渦菅表面の法線ベクトルと渦度ベクトルは直交）
  • 渦糸
    • 断面積が微小な渦菅
    • 渦菅は曲線とみなせる
    • 渦菅内の渦度は一定（Helmholtz の第三法則）

Helmholtz の法則

第一法則（渦度方程式）

第二法則

「渦度は流体粒子に凍結している」

粘性がなく，密度が圧力のみに依存し（バロトロピー流体），体積力が保存力なら，渦線を構成する粒子は常に同じで，渦線と流体は一緒に移動する．

水波

本

水をポテンシャル流と仮定して扱う

深さ ℎ 重力場 -gbold(k)

∇2Φ=0
(partial Phi)/(partial t)+(1)/(2)(nabla Phi)^2 +(P)/(rho)+gz=0

このときに表面の形を表す方程式

𝑧=𝜁(𝑥,𝑡),𝐹(𝑥,𝑡)=0

を求めたい．

表面条件

表面を構成する粒子は表面を漂うと仮定する．つまり，表面の物質微分

(dif F)/(dif t) = (partial)/(partial t)F + u dot.op nabla F = 0 \\ (partial zeta)/(partial t)+nablaPhi dot.c nablazeta=(partial Phi)/(partial z)

また，表面の圧力は大気圧なので，圧力をゲージ圧として，

𝑃(𝑥,𝑡)=0(𝐹(𝑥,𝑡)=0)

表面張力がある場合，圧力が高くなる．表面張力は表面形状に依存する成分と表面張力係数 𝑇 の積になる．

微小変位

表面の形状に依存した複雑な境界条件になるので，波の変位が微小だと仮定して線形化する

𝑧 を微小変位 𝜁 として，

Φ(𝑥,𝑦,𝑧)≃Φ(𝑥,𝑦,0)+𝜁𝜕𝜕𝑧Φ(𝑥,𝑦,𝜁)

表面形状の条件は

𝜕𝜁𝜕𝑡=𝜕Φ𝜕𝑧

表面圧力の条件は（表面張力を含む）

(partial Phi)/(partial t)+gzeta=(T)/(rho)lr(((partial^2 zeta)/(partial x^2)+(partial^2 zeta)/(partial y^2)))

2 次元の解

𝑦 方向を均一として解く

Phi=-a(omega cosh k(z+h))/(k sinh kh)cos (kx-omega t)

浅水波 kh<<1 の場合

Phi = -(aomega)/(k^2h)cos (kx-omega t)

速度場

u=(aomega)/(kh)sin(kx-omega t)

深水波 kh>>1 の場合

Phi = -a(omega)/(k)e^("kz")cos(kx-omega t)

位相速度

𝑐𝑝=√𝑔𝑘

群速度

𝑐𝑔=12√𝑔𝑘

KdV 方程式

𝜕𝑢𝜕𝑡+𝛼𝑢𝜕𝑢𝜕𝑥+𝛽𝜕3𝑢𝜕𝑥3=0

ソリトン解

u=(c)/(2)sech^2(sqrt(c))/(2)(x-ct+delta)