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量子電磁気学

ディラック方程式、反粒子、場の量子化から量子電磁気学への入口を整理します

  • 特殊相対性原理に従う
  • 𝑐→∞ の極限

ディラック方程式

lr([iplanck.reduce gamma^mu (partial)/(partial x^mu)-mc]) psi(x) = 0 space (1)

シュレディンガー方程式との対応

𝑖ℏ𝜕𝜕𝑡𝜓=𝐻𝜓 (2)
H = gamma^0 mc^2 + gamma^0gamma^i (-iplanck.reduce nabla)_i c space (3)

エネルギー

ハミルトニアンの固有関数を求めたい

Htilde(psi)(x,E) = Etilde(psi)(x,E) space (4)
  1. エネルギー固有状態の時間発展は (2) より
psi(x,t) = tilde(psi)(x,E)e^(-iEt/planck.reduce) space (5)
  1. 運動量演算子 p=-iplanck.reduce nabla はハミルトニアンと可換なので同時固有関数が存在する
psi(x,t) = omega(p,E) e^(i(pdot.op x-Et)/planck.reduce) space (6)

(2) に (6) を代入して両辺 E+gamma mc^2+mc^2gammagamma^i をかけて

(𝐸2−𝑚2𝑐4−𝑝2𝑐2)𝜔(𝑝,𝐸)=0
𝐸2=𝑚2𝑐4+𝑝2𝑐2
  • エネルギー固有値は無限スペクトル
  • エネルギー固有値に対して運動量は自由度が残る
    • 向きの 2 自由度が残る

𝑝=0 （静止）

(E-mc^2gamma^0)omega(0,E)=0
mat(delim: "(", E-mc^2, ; , E+mc^2) mat(delim: "(", phi.alt; zeta) = 0
𝜓(𝑥,𝑡)={(𝜒0)𝑒−𝑖𝑚𝑐2𝑡ℏ,(𝐸=𝑚𝑐2)(0𝜒)𝑒𝑖𝑚𝑐2𝑡ℏ,(𝐸=−𝑚𝑐2)\𝜒=(𝜒+𝜒−)
  • 正エネルギー解と負エネルギー解がある
  • 𝜒+,𝜒− が残るがこの自由度がスピン

𝑝≠0

mat(delim: "(", E-mc^2, -sigma dot.op p c; -sigma dot.op p c, E+mc^2) mat(delim: "(", phi.alt; zeta) = 0
𝜓(𝑥,𝑡)={(𝜒𝜎⋅𝑝𝑐𝐸+𝑚𝑐2𝜒)𝑒𝑖𝑝⋅𝑥−𝐸𝑡ℏ,(𝐸>𝑚𝑐2)(𝜎⋅𝑝𝑐𝐸−𝑚𝑐2𝜒𝜒)𝑒𝑖𝑝⋅𝑥−𝐸𝑡ℏ,(𝐸<−𝑚𝑐2)\𝜒=(𝜒+𝜒−)
  • 動くと反対の成分が付随して生じる

ローレンツ変換不変性

𝜓(𝑥)→𝜓′(𝑥′) に対してディラック方程式がどうなるか

連続変換

反転変換

エネルギー

相対論のエネルギー式

𝐸2=𝑚2𝑐4+𝑝2𝑐2

反粒子

負エネルギー解

時間逆行する粒子

スピン

量子場

1 粒子系の波動関数は状態 𝛼 に対して

𝜓𝛼(𝑥)=⟨𝑥|𝛼⟩

量子場とは演算子 ̂𝜓(𝑥)

𝜓𝛼(𝑥)=⟨𝑥|𝛼⟩

ディラック場

生成消滅演算子

CPT 定理

スピノルの数学

パウリ行列

ガンマ行列

𝛾0=(100−1)𝛾𝑖=(0−𝜎𝑖𝜎𝑖0)

性質

gamma^mugamma^nu+gamma^nugamma^mu = g^("munu") \ (gamma^mu)^dagger = g_mu^mugamma^mu \ (gamma^mu)^2 = g_mu^mu \ gamma^mugamma^nu = -gamma^nugamma^mu