ニュートン力学では、力を見て運動方程式を書きます。
解析力学では、少し見方を変えて、エネルギーや作用から運動方程式を出します。最終的に出てくる式は同じですが、座標変換、拘束条件、多自由度系、量子力学との接続がかなり見通しよくなります。
前回の多重振動系を、解析力学の言葉で書き直してみます。
一般化座標
質点の位置をそのまま で書く必要はありません。
振り子なら角度 、バネ・マス系なら各質点の変位 、剛体なら姿勢角のように、系の状態を指定できる変数を選べばよいです。これを一般化座標と呼びます。
一般化座標をうまく選ぶと、拘束力を直接考えずにすみます。これがかなり嬉しいです。束縛条件を毎回力で処理するのはつらい。
ラグランジアン
ラグランジアンは、ざっくり言えば
です。 は運動エネルギー、 はポテンシャルエネルギーです。
実際には磁場中の荷電粒子のように速度に依存する項が入る場合もありますが、まずは と思っておくとだいたい進められます。
作用を
と定義します。実際の運動は、この作用が停留する経路です。最短とは限らず、停留です。ここが「最小作用の原理」という名前のちょっと罠なところです。
ラグランジュの運動方程式
作用を停留させる条件から、オイラー・ラグランジュ方程式が出ます。
は非保存力がある場合の一般化力です。保存力だけなら です。
ニュートンの式はベクトルの成分ごとに力を足していく感じですが、ラグランジュ形式では「エネルギーを書いて微分する」だけです。座標が曲がっていてもこの形が保たれるのが強いです。
単振動子
質量 、バネ定数 の単振動子では、
です。
なので、
が出ます。いつもの単振動です。
多重振動系
前回のバネ・マス系では、
と書けます。したがって、
です。
オイラー・ラグランジュ方程式に代入すると、
になります。
第1回で出した運動方程式と同じです。ただし、今回は力を 1 個ずつ数え上げず、 と から一発で出しています。
一般化運動量
一般化座標 に対応する運動量を
と定義します。
普通の直交座標で なら、 です。なので見慣れた運動量そのものです。
しかし一般化座標では、 が必ずしも「質量かける速度」にはなりません。たとえば極座標では角度に対応する運動量は角運動量になります。
この「座標に対応する運動量」という見方が、後で正準変数になります。
多重振動系では、
です。
ハミルトニアン
ハミルトニアンは、ラグランジアンを速度ではなく運動量で書き直したものです。
これはルジャンドル変換です。
で、 が速度の 2 次形式なら、ハミルトニアンはたいてい全エネルギー
になります。もちろん時間に陽に依存するポテンシャルや速度依存ポテンシャルがあると、少し注意が必要です。
多重振動系では、
です。
ハミルトンの運動方程式
ハミルトン形式では、運動方程式が 1 階の連立方程式になります。
この形を正準方程式と呼びます。
多重振動系のハミルトニアンからは、
が出ます。 を使って 2 式をまとめれば、
です。ラグランジュ形式と同じ運動方程式に戻ります。
位相空間
ハミルトン形式では、状態を の組で表します。
位置だけではなく、運動量も座標として扱う空間です。これを位相空間と呼びます。
自由度の系なら、位相空間は 次元です。時間発展は、この位相空間上の曲線になります。
統計力学で出てくる 空間もこの見方です。多粒子系になると次元が爆発します。爆発するけど、構造は保たれます。
保存量
ラグランジアンにある座標 が出てこないとします。
このとき、オイラー・ラグランジュ方程式から
です。つまり対応する一般化運動量が保存します。
このような座標を循環座標と呼びます。
たとえば空間並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性があれば角運動量が保存します。対称性と保存則が対応する、という話です。ここを突き詰めるとネーターの定理に行きます。
電磁気の正準方程式
荷電粒子が電磁場中を動く場合、ラグランジアンは
の形になります。 はスカラーポテンシャル、 はベクトルポテンシャルです。
このとき正準運動量は、
です。力学的運動量 と正準運動量 がずれます。
ハミルトニアンは、
になります。
ここは量子力学でかなり重要になります。運動量演算子に電磁ポテンシャルが入ってくる理由が、この正準運動量の定義から見えるためです。
量子化
解析力学の変数 は、量子力学では演算子になります。
そして正準交換関係
を課します。
調和振動子のハミルトニアン
を量子化すると、エネルギーが飛び飛びになります。
多重振動系を正規モードに分解してから量子化すると、それぞれの正規モードが量子調和振動子になります。固体中の格子振動を量子化したものがフォノンです。
第1回のバネ・マス系が、ここで量子力学や固体物理に接続します。ずっとバネの話をしていたはずなのに、気づくとフォノンが出てくる。よい。
まとめ
ラグランジュ形式では、一般化座標を選び、 から運動方程式を出します。
ハミルトン形式では、 を独立変数として、位相空間上の 1 階方程式として運動を表します。
多重振動系では、
です。
ラグランジアンもハミルトニアンも、同じ運動を別の角度から見ています。力を足すだけでは見えにくい構造が、エネルギーと正準変数を使うと見えるようになります。